几何最值 · 交互演示

三条斜边，怎样走得最短？

S=1+a2+4+b2+9+c2 a + b + c = 10

把三个直角三角形首尾相接。
拖动拐点，比较折线与直线。

从 A 出发，经过 P、Q，到达 B

三条斜边直线 AB
三个首尾相接的直角三角形 固定 A 为零零，B 为十六。P 的纵坐标为一，Q 的纵坐标为三。P 和 Q 可沿水平方向拖动，三个横向直角边之和始终为十，三个纵向直角边分别为一、二、三。 a + b + c = 10 1 + 2 + 3 = 6 AB = 2√34 P Q
左右拖动白色拐点 P、Q 折线有转折，比直线更长
1+a2第一条斜边 AP
4.6098
4+b2第二条斜边 PQ
2.2361
9+c2第三条斜边 QB
5.4083

为什么最小值一定是 2√34？

两点之间，线段最短。

1

把根式变成三条斜边

三个直角三角形的直角边分别为 (a, 1)、(b, 2)、(c, 3)。由勾股定理，三条斜边恰好对应题目中的三个根式。

2

固定两端，折线不能短于直线

横向总长为 10，纵向总高为 6。因此，无论中间如何转折：

S≥AB=102+62=234
3

三条斜边共线，就取到等号

三个三角形相似，横向边与纵向边的比例都等于 10 : 6，也就是：

a1=b2=c3=53a=53,b=103,c=5
如果题目允许 a、b、c 为负数呢？

最小值仍为 2√34。把三段看成向量 (a, 1)、(b, 2)、(c, 3)，它们的和始终是 (10, 6)；三段的长度和不会小于合向量的长度。等号要求三个向量同向共线，由纵向分量 1、2、3 可知，此时仍只能是 a = 5/3、b = 10/3、c = 5。图中的拖动演示取非负数，便于把 a、b、c 直接画成边长；边长为 0 时显示退化三角形。